近藤钲太郎老师在当时的旧制第八高等学校的老师中绝对算得上是一位卓越的老师，他也是在艰苦岁月中非常难得的一位老师。跟随近藤老师学习的学生都对他印象深刻，我想很多人的一生受到了老师的影响。这本纪念文集中，一定写有很多令我抱有同感的回忆，以及我没能发现的近藤老师的另一面。作为从八高毕业后选择走上数学研究道路的人，我在这里想以近藤老师的教学方式以及他与数学之间的故事为中心，写一写对他的回忆。 我从近藤老师那里学到的与其说是数学知识，不如说是对数学研究的态度。这种态度是从近藤老师的课堂和他的话语中流露出来的。
我在 1932 年 4 月进入八高理乙班读书，近藤老师当时四十岁左右。理科班级中，理乙以德语为第一外语，学生中有一些人后来进入了理学院和工学院，但大部分人去的是医学院。我希望将来能就读数学专业，又听说德国的数学研究水平处于世界前列，因此选择了理乙。幸运的是，我们那个年级的数学教学是由近藤老师负责的，近藤老师在三年中一直教我们数学。
入学后没多久，近藤老师在课上发了一张试题纸。不是作业，而是让我们就上面写的东西进行思考。我看到内容后吃了一惊。下面我就来讲讲其中的两个问题。
一个问题是“指出下面句子中的逻辑错误”。
（1）吃得最少的人最饿，最饿的人吃得最多，所以吃得最少的人吃得最多。
（2）你很蠢，因为我只知道你做的蠢事。
当时，我对数学的理解还停留在代数就是精巧地进行计算，几何就是做好辅助线这种层面。近藤老师给出的题目让我陷入了沉思。
上面的例子是诡辩，没有正确的逻辑，那么诡辩和数学逻辑之间到底有什么区别呢？这个问题后来我也经常思考，并且得出了这样的结论：为了使数学的逻辑再接近诡辩也不会成为它，必须从明确的定义出发。
近藤老师不仅在课堂中教授数学知识，还会让学生自己进行思考，让学生真正理解这些知识。教育一词的英文是 education，德文是 Erziehung，二者的原意都是激发学生的潜能，近藤老师的教育方式正是实现这一理想的典型示例。这一点并不是我在听老师讲课时立刻明白的，当我自己也成为一名数学教育者之后，才渐渐感受到了老师的伟大之处。
试题纸上印着的另一个问题是描述√2的定义。√2的值是1.41421356…，之前为了应试，我曾经靠“意思意思而已”这条口诀来记忆，因此被问到定义时不知如何是好。我想过是不是可以将√2定义为平方之后的结果等于 2 的数，但又觉得 √2都没有明确定义，又如何去求它的平方。想到这里，我愈发困惑了。
所幸，我在暑假期间阅读了高木贞治老师的《新式算术讲义》，看到里面戴德金利用分割来定义实数，隐隐约约抓住了定义√2的正确方向。
那页试题让我深刻感受到了数学必须建立在严密的逻辑上。
大家都说近藤老师的数学课太难。在高二的微分学课程中，为了严密定义极限值，我们按照正规的顺序，从关于自然数的皮亚诺公理出发定义有理数，然后作为其分割来定义实数。这样的教学内容就算放在大学数学专业的课程中也会令初次听讲的学生烦恼，更不要说放在高中课堂上了。但是近藤老师进行了尝试，并在极短的时间里将课程讲完了。
虽然我之前在高木老师的著作中看到过这部分内容，但当时花了很长时间才明白其逻辑脉络，至于为什么要那样处理，我并不明白。然而，近藤老师在课上用只言片语就解开了我的疑惑，令我体会到了恍然大悟的畅快感。
有时，近藤老师会故意在课上跳过细节部分的推论，学生之后向他询问时他才会详细说明。有一次我去近藤老师家中问问题，他对我说：“在上课时我故意讲错这里。这个错误在一本非常有名的书中也出现过。你注意到了吗？”我其实并没有注意到，因此感到难为情，这种心情至今我都记得。
近藤老师出的试题总是很难，颇令学生们烦恼。现在回想起来，不应该说难，而应该说是别具一格。 大多数老师出的试题只要使用学过的定理就能解出，但近藤老师出的试题并非如此，必须从本质上理解定理的证明才能解出来。
举个简单例子。比如“求在和为 50 的两个数中乘积最大的两个数”这样的问题，只要应用“如果两个数的和为确定的值，则两个数相等时乘积最大”这个定理，就能知道这两个数都是 25。但近藤老师会把问题改成“求和为 50 的互质的两个数中，乘积最大的两个数”这样的形式。用之前的定理得到的25 和 25 并不互质，但仔细看前面定理的证明，就会发现它是以“两数之积是两数之和的平方与两数之差的平方的差的四分之一”这一事实为基础的。因此，在这个例子中和是 50，两数的差越小，两数的积就越大。两数的差为 0（25、25）或 2（24、26）时，两数不互质，所以不行，但差为 4（23、27）时就可以了。
给很多“工具箱”准备定理并巧妙运用它们是最近数学使用者们的做法。与此相对，从证明中抓住数学定理的本质并发现新的定理，进而创造出新的理论，则是数学家的工作。 近藤老师作为数学研究者进行授课，无论是授课内容还是习题都与普通的数学教学截然不同，令我十分佩服。
近藤老师的亲属们说他没有留下任何遗作。我想，恐怕近藤老师曾多次提笔，只是头脑中的想法一个接一个地涌现出来，只好不断重新开始。普通人觉得差不多就可以了，但近藤老师作为一个完美主义者肯定不会妥协。
从八高毕业后，我曾造访近藤老师家，那时老师曾透露想写一本叫作《数理新讲》的书，并和我讲了内容构想。这本书涵盖当时高中到大学低年级的数学内容，老师打算根据自己在八高多年的教学经验，在书中加入独特的思考。我曾在老师的课堂以及和他的谈话中多次听到在平常的书本中难得一见的具有深度的说明，这在我之后的研究中起到了巨大的作用，所以我期盼着近藤老师的这本著作能尽快完成。
这本书如果能够出版，我想一定能触动新制大学教养课程的学生，特别是立志研究数学的学生的心弦，成为一本名作。然而近藤老师几度提笔，不断推敲，最终还是没能完成，实在令人遗憾。
我作为数学研究者生活了五十余年，能在八高时代的 3 年里接受近藤老师的教诲，实在是三生有幸。我想再次对近藤老师表示感谢。
回想起每次去近藤老师家中拜访时接待我的师母的温柔身影，我最后还想再写一件事。有一次和近藤老师聊天时，师母端出了茶和刚刚出锅的豆沙包。近藤老师看都没看一眼，只顾着说话，我也因为忙着听老师说话没能品尝。就连师母来为我们添茶时，近藤老师也没停下，于是师母便静悄悄地将冷掉的茶和豆沙包撤下，过了一会儿，又将热茶和冒着热气的豆沙包端了上来，然后对我说：“快趁热吃吧。”于是我一边听近藤老师说话一边享用了。那时的豆沙包出奇地好吃。
：[日] 伊藤清 译者：刘婷婷
沃尔夫奖、高斯奖得主，现代随机分析之父 日本数学大家 伊藤清
讲述数学思想与方法
激发关于概率与世界的深层
呈现日本数学发展的另类线索
初识数学大师柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）
目录
1 工作：广博精深 2 作为导师和教育家的为人和风格 3 修身齐家：作为子女、丈夫、父辈 4 柯尔莫哥洛夫和其他同辈理论家的交集 5 柯尔莫哥洛夫中学 6 致谢 7 参考文献/进一步阅读材料
数学大师柯尔莫哥洛夫是一个高尚、厚道的好人，“不修边幅的温厚的君子形象”（伊藤清语）。 他不是希尔伯特（柯尔莫哥洛夫非常崇敬）那种缓慢型天才，而是聪敏中的最敏捷的那种。 他的学生、Wolf奖得主Sinai：“…his enormous intellectual power and great energy…”。 他是一个充满个人魅力的导师，培养了约70位博士，包括著名的盖尔方德、西奈、阿诺尔德、Levin（因NP获图灵奖；另外快排的发明人、图灵奖得主Hoare也曾是柯老的联合培养学生）、 奥布霍夫、莫宁等大师级别的学生，超过20位成了院士。
60年代中期开始（写完Kolmogorov complexity那篇文章左右），柯尔莫哥洛夫把精力和心血主要贡献给了数学教育，创办了著名的柯尔莫哥洛夫中学，亲自编写教材、授课（每周达到26小时），挖掘培养了大批高手，多人已成了院士，解决庞加莱猜想的佩雷尔曼就是这里的毕业生。
记得前几年看过一本小册子，丁玖老师在《混沌分形漫谈》一书中，把柯尔莫哥洛夫与我国的孔子相比。 的确，他们都有若干位伟大的学生，几十位杰出的学生，成千上万受其教诲和影响的其他学生，都创办学校取得了成功。 另外还有一点：都有非常强壮的体魄，战斗力惊人。
众所周知，柯尔莫哥洛夫研究领域宽广，几乎遍及一切数学领域（恰恰没有华罗庚先生最喜欢的数论），包括：概腔神率论及随机过程、数理统计及其应用、泛函分析、拓扑、微分方程、湍流理论、动力系统与经典力学、信息论、混沌、函数的距离理论、描述集合论、数理逻辑与数学基础、(武器的)火力理论、演算学与自动机、函数论、近似理论、算法概率论、遍历论、诗韵中的统计学等。 他在这些领域的研究成果不仅被应用于数学本身的发展和开辟新的领域，而且在物理、 化学、生物、地球物理大气物理、冶金学、晶体学、机器学习神经网络等等学科中都有极重要的应用。 如果一个研究方向不够一些人口中的“高大上”，柯尔莫哥洛夫就可以凭一人之力把该领域脱胎换骨成体面的学科，并建立一个学派，带领其他人去播种、收获、扩建。
列一个表格，来燃圆则感受一下什么叫广博精深：
要了解柯尔莫哥洛夫的工作，那么可以打开springer出版的三卷选集：第一卷《数学与力学》，致力于确定性现象；第二卷《概率论与数理统计》，涉及随机过程与混沌现象；第三卷《信息论与算法论》，其基本思想是：序和随机及混沌之间并无明确界限。 物理系背景的，可以看看为了纪念柯尔莫哥洛夫百年诞辰出版的Kolmogorovs Heritage in Physics。 其中Self-Similar Random Fields: From Kolmogorov to Renormalization Group 讨论了柯尔莫哥洛夫在动力系统方面的遗产对重整化群的影响。 （Sinai：皮棚”Sometimes it is stressed that the powerful renormalization group method in statistical physics and quantum field theory that is based upon the idea of scale invariance has as one of its roots the Kolmogorov theory of turbulence ”）
业余看过很多科学家的回忆录，以及在博士期间的无数茶歇和组会中，从几位导师那里听到了更多的理论家的故事：有很多是高尚的导师，也有像父亲一般关怀弟子成长的，但我仍觉得柯尔莫戈洛夫与学生们之间的友爱温馨是老师-朋友-父亲的最佳叠加。
在柯大师的几十位学生中，现有超过20位成为了俄罗斯/苏联科学院的院士。
盖尔方德院士（Galfand，巨人级别，沃尔夫奖）：“数学是一个整体，这是科尔莫哥洛夫老师教给我的……数学仍能够被看成一个整体，这很大程度上归功于科尔莫哥洛夫。”
西奈院士（Sinai ，1956级，沃尔夫奖)回忆自己与老师Kolmogorov 1959年的一次旅行（还有同一级的Shiryaev（院士））：“……我们徒步行进了30公里，我问Andrei他是否累了，他回答说如果有点吃的，他可以再来一遍（当时柯尔莫哥洛夫56岁！）……我们之间的年龄差完全没有体现出来。 好像我们在与同龄人旅行，只不过更有经验和充满好奇心。 ……当我们沿着大峡谷行进时，Kolmogorov教我们在山间水畔潜水。 不久前，Alik Shiryaev成为了Kolmogorov在斯泰克洛夫研究所的同事。 站在水边，Andrei对Alik说（当然是开玩笑）：跳进去，Alik，要不然我就炒了你。 ”
Sinai: “[KAM的工作中] 柯尔莫戈洛夫引入 quasi-regular 系统的概念，现在大家都称之为K-system。 其实有段时间内，大家是用Kolmogorov system这个称呼的。 但Kolmogorov自己倡导K-system这个简称。 这是柯尔莫戈洛夫伟大的谦逊的例子之一，俄语中quasi-system拼写的首字母是K。 ”
Dynkin（1945级，后期到了美国，美国科学院院士）：“柯尔莫戈洛夫从来不在人面前说任何人的哪怕一句坏话。”
阿诺尔德（院士，沃尔夫奖)：“想听懂柯尔莫戈洛夫老师的课简直是不可能的，但它们充满了奇思妙想。”
阿诺尔德回忆KAM：“当Kolmogorov建议我自己选个题目时，我想一定要选一个跟他的工作完全正交的领域。 这是非常困难的，因为他的工作涉及那么广博的领域。 ……我对着23个HIlbert问题，一个一个整理到笔记本上。 其中第16问题，… If you write the Fourier series for the mapping of a circle equivalent to a rotation, you immediately get the problem of resonances and the small denominator problem for the rotation number…此时，Kolmogorov刚好在莫斯科大学开设了一门讲授哈密顿系统小分母技巧的课程，后来发展成现在的KAM理论。 所以，我想自己完全独立做题目的尝试是彻底失败了（so my attempt to invent something independent was completely unsuccessful ）。 ”
阿诺尔德评价柯尔莫戈洛夫作为系主任和导师：
”柯尔莫戈洛夫老师度过了伟大而幸福的一生。
柯尔莫戈洛夫、庞加莱、高斯、欧拉、牛顿：五代人将我们与科学黎明时代分开来。
普希金曾经说过，尽管方式完全悬殊，但他对年轻人和俄罗斯民间文化的影响比整个教育部的影响更大。 柯尔莫戈洛夫对数学也有同样的影响。
我在学生时代就认识了安德烈·尼古拉耶维奇。 他当时是莫斯科大学数学与力学系的主任。 那时正是数力系和俄罗斯数学的全盛时期。 柯尔莫戈洛夫和Petrovskii院士的领导的首要的，数力系因此达到了以前从未达到过的强盛，以后也很难再达到了 。 “
Nikolsky院士（柯大师早年的学生）：“我想，[科尔莫哥洛夫]所有的学生都会因为被这个伟大的数学家带到一起来而感到幸运，他又是如此秉持和看重不装腔作势、同情、公正。“
格涅坚科院士（Gnedenko）回忆说：“对于柯尔莫哥洛夫的所有学生来说，与柯尔莫哥洛夫一起做研究的岁月是终生难忘的，最令人难以忘怀的是每个周日的郊游，柯尔莫哥洛夫邀请他所有的学生（研究生或本科生）以及别的导师的学生前来参加郊游活动，在郊游的过程中，我们讨论当前的数学（及其应用）问题，还有一些有关绘画、建筑和文学方面的问题。”
Nikolsky院士回忆起柯大师在卫国战争（德军压境，人们从莫斯科撤离到喀山，湍流的工作就是在喀山时期完成的）的一件事：”1941年8月，卫国战争开始后不久，我被派出莫斯科，前往马洛亚罗斯拉夫以西，挖掘一个从北向南延伸数百公里的坦克防御。 全然不知自己的命运将往何处，就在离开之际，我通过学院秘书向柯尔莫戈洛夫提交了一些关于我博士答辩的材料。 但不幸的是，德国人在10月初突破了我们的坦克防御，有关坦克的工作停止了，我最终来留在了莫斯科。 数学研究所的一些成员还在，还没有完成撤离，柯尔莫戈洛夫当时也在莫斯科。 但10月16日爆发了恐慌：人们认为德国人将马上攻陷这座城市。 我得知柯尔莫戈洛夫和我们的主任Sobolev院士在前一天晚上匆匆离开了莫斯科：10月15日晚上，他们接到一个电话，通知他们必须立即前往Pavelets站，只携带随身行李--一列专列正等着将他们从莫斯科送到喀山（Kazan）。 十月下旬，Anatolii Ivanovich（58年当选为苏联科学院院士）和我也来到了喀山。
在喀山的第一次会议上，老师邀请我晚上到他家喝茶。 他和他的朋友亚历山德罗夫院士、姨妈维拉在一个拥挤的地方住着，房间的一角被两个书架区分开来用于研究：许多伟大的发现正是诞生在这个书架后面的角落里，并在各国学术机构的特别收藏中永垂不朽。 那天老师喝完茶，走到书架后面，回来——你们猜——居然带着我的手稿，这让我感动不已。 他说这些材料完全足以写成一篇博士论文，并建议我中断手头的博士研究开始准备答辩（我本打算再读两年），--当时正逢战乱，这件事更显得难能可贵。 不仅如此，老师对Anatolii Ivanovich随后也说过类似的话。 两个月后，我们俩顺利完成了博士论文答辩。
然而回想起来，在这艰难的岁月中，最让我难以忘怀的，是10月15日那个难过的晚上，老师匆匆离开了他在莫斯科的家时，不忘把我的论文初稿放进他的行李箱，他本可以在那里多放一条暖裤的——许多人都是这么做的。 而这也仅仅只是柯尔莫戈洛夫对学生温暖的人道主义关切的一个例子。 我们所有人（并不在少数），都将终生铭记我们的老师（our Teacher），直到生命的尽头。 ”
A. G. Vitushkin院士（是一位盲人数学家，柯老的博士生）描述他在初识柯大师时：“我问柯尔莫哥洛夫我的两篇文章能投给Doklady 杂志 吗。 刚听完结果的形式后，柯尔莫哥洛夫惯常的“嗯…”着沉思了一下，然后说“结果是对的，我知道如何推导了。 ”啊！我简直有点丧气。 亚历山大洛夫院士也恰巧在一旁，他安慰我说“别灰心，柯尔莫哥洛夫只是什么都知道。 一周后我去问柯尔莫戈洛夫的决定，又惊讶了：他已经逐字逐句帮我改了，并且在打字机上敲了一份。 ”
Yaglom院士（柯大师战前的博士生，湍流方向）：“由于我也是柯尔莫哥洛夫的学生，盖尔范德经常问我同一个问题“我和柯尔莫哥洛夫谁是更伟大的数学家？”我要么回答“柯尔莫哥洛夫”，要么说“你给的集合（盖尔方德，柯尔莫哥洛夫）是部分有序的，但不是完全有序的”。 盖尔方德当然是一位数学巨人，但柯尔莫哥洛夫更加强大。 ”
科尔莫哥洛夫是温暖的、关怀的，但也是鞭策的。Shireyaev院士写道：” Students of Kolmogorov, and they are numerous indeed, stated on several occasions how lucky they were to be his pupils. However, they always added that it also was a huge responsibility. There was constant pressure to get as much as possible done so that during the next meeting with Kolmogorov they would be able to tell him about their progress. One of my friends characterized his attitude about Kolmogorov as panicked respect.“
柯尔莫戈洛夫的名字安德烈·尼古拉耶维奇，是沿用了《战争与和平》安德烈·尼古拉耶维奇·宝尔康斯基公爵的名字——这是她母亲的遗愿（逝于难产），柯尔莫戈洛夫的姥爷家其实也是贵族。 柯尔莫戈洛夫的两位姨妈收养了他。 尤其是维拉姨妈，爱他视如己出，并终生未婚。 柯尔莫戈洛夫也把她视为自己的母亲，让她感到骄傲、并孝敬、陪伴她直至养老送终（维拉姨妈在87岁老去）。
顺便提一句关于柯尔莫戈洛夫一件有趣的事：天生是左撇子，小时候开始练习右手，最终两只手都可以从事书写等精细活动。
1910年，维拉·雅科夫列夫娜（Vera Yakovlevna）和她的养子搬到了莫斯科，在那里，安德烈·尼古拉耶维奇加入了私立的Repman预科小学（在十月革命后更名为第23级小学）。 柯尔莫哥洛夫多次提起过这所小学的美好融洽氛围，这是由一群思想民主的知识分子建立的。 就学费而言，它也是最便宜的之一（虽然他们家物质上是丰裕的，但一家人信奉托尔斯泰主义：工作、劳动，道德自我完善）。
1942年，柯尔莫戈洛夫与安娜（ Anna Dmitriyevna Kolmogorova ）结婚，安娜是他小学就认识的同学和好朋友。 安娜的儿子 Oleg Ivashev-Musatov 因此成为了柯尔莫戈洛夫的儿子（son-in-law）。
柯尔莫戈洛夫：“If there existed a better world, in which people were reunited with the dead for eternal life, of course I would most of all like to meet my grandfather and grandmother who raised me, whose love and kindness have been more than sufficient for my entire life.” “And, of course, I would like to make an appointment with by beloved teacher”
Shiryaev院士：“…在沙滩上，柯尔莫戈洛夫听到我10岁的儿子对一个女孩说她说谎了。 柯尔莫戈洛夫纠正他说：男孩子不能对女士那样说话。 你可以说：我恐怕你可能偏离了事实。 ”
在生命的最后6年，柯尔莫戈洛夫饱受疾病的困扰（眼疾、帕金森），他的博士学生、大学教过的学生、柯尔莫戈洛夫中学的学生，自发地去帮助柯大师的妻子和医护人员去照料他、陪伴他，数年如一日，阿诺尔德描述这段时光时说“... 跟老师在一起的时光总是愉快的”。
柯尔莫哥洛夫和冯诺依曼，两个同是1903年的超级巨星，同样级别的广博精深，研究兴趣又重合了部分。 他们分别在东、西方，但有个有趣的交集：1954年，在荷兰阿姆斯特丹的国际数学家大会上，柯尔莫哥洛夫做了opening lecture（内容就是著名的KAM），冯诺依曼做了closing lecture，也可见他们二人的崇高地位 （两人的相像容易让人想到我们的迪克叔叔和朗道）。 但由于特殊的政治背景，冯诺依曼又参与过曼哈顿计划和政治，两位巨人没有直接交流。
与苏联理论物理大高手朗道：朗道非常尊重和欣赏柯尔莫戈洛夫的工作（二人分别是苏联最伟大的数学家和理论物理学家），包括概率论，尤其欣赏柯尔莫戈洛夫在湍流和KAM方面的工作。 但也表示柯尔莫戈洛夫的概率论在物理里面没什么用场。 但最近一些年，概率随机方向的学者拿下了几次沃尔夫奖和玻尔兹曼奖，又如2022年世界数学家大会的1小时报告，其中35%是柯大师的领域或报告人是再传弟子，让历史继续裁判吧。
伊藤清（沃尔夫奖得主）在《柯尔莫哥洛夫的数学观与业绩》写的非常感人：“当我得知苏联伟大的数学家，84岁的A N Kolmogorov教授于1987年10月20日离开人世时，我感到像是失去了支柱那样悲哀与孤寂。 在我还是学生时（1937年）读了他的名著《概率论的基本概念》之后，便立志钻研概率论，并持续了50年之久。 对于我来说，柯尔莫戈洛夫就是我的数学基础。 ……
柯尔莫戈洛夫在数学的几乎所有领域中，都提出了独创的思想，导入了崭新的方法，他的业绩是非常辉煌的。 然而，我见到他时给我留下的印象却是不修边幅的温厚的君子形象，这也许正是伟大数学家的形象吧。
柯尔莫戈洛夫的论文我自认为基本上都好好地读过了 ，在撰写本稿时，我又对他整个的研究成果做了一个直接或间接的调查。 对其研究的广度和深度不得不叹服。 ”
诺维科夫院士（Novikov，菲尔兹+沃尔夫奖得主) 视柯尔莫戈洛夫是自己的老师，对自己影响颇大，他在《Memories of A N Kolmogorov》写道“ it is well known that the majority regard Kolmogorov as the greatest mathematician of our time …not interfering with the scientific affairs of the younger generation but offering them every kind of help in difficult situations. He supported me by helping in various undertakings…
机器学习理论的奠基人Vapnik院士说：”Kolmogorov是我的英雄“，他也是柯尔莫戈洛夫奖（Kolmogorov medal）2018获得者，推荐看看YouTube上他的演讲。 Vapnik最著名的工作——描述机器学习方法capacity的VC维，受启发于Kolmogorov在复杂性方面的工作（epsilon capacity等）。
在伯克利工作的统计学家Neyman曾多次邀请柯尔莫哥洛夫访学，柯尔莫哥洛夫也乐意去美国看看，但最终没能成行。Lehmann在《Reminiscences of a Statistician-The Company I Kept》记述了这件事：“An event planned for the second year of my term to which I was looking forward with great excitement was an extended visit by Andrei N. Kolmogorov, considered by many to be the greatest living mathematician . ... Neyman knew Kolmogorov well and had repeatedly tried to bring him to Berkeley for a visit, without success. This time, the situation looked very promising. In fact, the university catalogue for the year 1974–75 lists Kolmogorov among the visiting faculty. What made me so confident was that some months before he was due to arrive, Kolmogorov had sent a vanguard in the form of his young colleague, Igor Zhurbenko,.... All these preparations went well, but unfortunately at the last moment Kolmogorov experienced severe health problems and had to cancel the visit. ”
许宝騄（许多人认为在我国，许先生与华先生、陈先生齐名，当年并称“西南联大三杰”）把数学家分成三流，他说: “第一流的数学家，是有天才的，他们能开闯新的领域，如柯尔莫哥洛夫， 冯.诺依曼，维纳这一类人，这些人是可望而不可及的。 第二流数学家是靠刻苦学习而成的，认真消化整理前人的东西，在这个基础 上有所创造发现，象欣钦这样的数学家就是这一类的，他写的《公用事业理论的数学方法》、《信息论基础》等就是消化整理的结果。 这种工作对后人影响较大， 年青人可以在这个基础上较快地进入科学的前沿，中国缺少一批做这一类工作的 人。 第三流的数学家只在某一、二个问题上有一点贡献，不能象第二流的那样有系统的工作。 剩下的就是不入流的数学家了。 ”
那个著名的典故：1963年学生会议，美国统计学家雅各布·沃尔夫维茨(Jacob Wolfowitz):“我来苏联的一个特别的目的是确定柯尔莫哥洛夫到底是一个人，还是一个研究机构。”
这所学校从全国招收有数学、物理天赋的学生，完全免费。 对家境贫寒的学生还发给补助，尽管一些年代俄罗斯经济上困难重重，但这点直到现在都没变。 柯尔莫哥洛夫中学的学生成才率相当高，这点是有目共睹的，到80年代末，90年代初，已经有几个当年的学生成了科学院院士。
有本书叫Kolmogorov in perspective，他的学生回忆了他的许多故事。 让我印象深刻的一个是：在苏联十分危险的民族主义时期，为了给犹太裔学生争取权益，柯尔莫哥洛夫戴上自己所有的勋章，去政治人事部门做游说和斗争，为学生撑开保护伞（我国钱三强先生在特殊时期也是这么做的）。
给中学生推荐柯尔莫哥洛夫的小册子（各章都是大家，网上有电子版、也有卖中文版，译者也均是我国高手，行文流畅）：《数学它的内容方法和意义》。
感谢Shiryaev院士允许我翻译他的长文 Kolmogorov, Andrei Nikolaevich，即下面参考文献1。
1 1989-Shiryaev院士- Kolmogorov, Andrei Nikolaevich，长文
2 《Kolmogorov in perspective》 其中除了若干位学生的回忆文章，还有Kolmogorov写的长文Newton and Contemporay Mathematical Thought和Memories of P S Aleksandrov
3 《Golden years of Moscow mathematics》，整本书一半多都提到了Komlogorov！
4 《The Kolmogorov Legacy in Physics》，有pdf
5 《Kolmogorovs Heritage in Mathematics》 ，有pdf
6 《The Honors Class Hilberts Problems and Their Solvers 》 Benjamin H. Yandell，有pdf
7 Nikolski院士-The Great Kolmogorov，文章
8 1988-Tikhomirov-The Life and Work of A N Kolmogorov，长文，俄语
9 1988-Arnold-A few words on Andrei Nikolaevich Kolmogorov
10 伊藤清-柯尔莫哥洛夫的数学观与业绩
11 龚光鲁教授-柯尔莫哥洛夫，纪念文章
12 潘玉林博士-流体力学风云录-东邪柯尔莫戈洛夫，非常有趣的文章
13 Excerpts from Kolmogorov’s Diary，柯大师日记英译节选
14 Selected Works I、II、III卷
15 关于KAM的一本科普书，《The KAM Story A Friendly Introduction to the Content, History, and Significance of Classical Kolmogorov-Arnold-Moser Theory》，中文版叫《KAM的故事》
我国学生能容易看到的柯尔莫戈洛夫写的书 ：
《Introductory Real Analysis》
《Measure, Lebesgue integral and Hilbert Space》
《函数论与泛函分析初步》
《数学——它的内容、方法和意义》，英文版 Mathematics-Its Content, Methods and Meaning，1、2、3卷
《概率论导引》，是初等概率论，不涉及测度论
本文无意也无力去评论哪位科学巨人更伟大或最伟大，而只是想呈现我心目中的英雄，并尽量形象立体、丰富一点。
学习和工作原因，多年之前就知道了英雄的伟大名字和辉煌业绩。 另一方面，2020中美贸易战和疫情后，西方媒体的攻势和舆论控制，使我更加想了解苏联杰出科学家的经历和贡献，他们的学问和高尚品格显然应该获得更多的了解。 舆论控制能力强大的西方造神了一些所谓个性化的科学家并推销附属价值观，在我国得到了不匹配的流行。
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当代数学大师：沃尔夫数学奖得主及其建树与见解目录
当代数学大师的名单展示了数学领域中的卓越贡献和深远影响。 这些大师各自在数学的不同分支取得了显著成就，他们的工作不仅推动了数学理论毁中的发展，也对应用数学产生了深远的影响。 以下是对部分当代数学大师及其成就的概述：盖尔范德(I.M. Gelfand)在数学分析、群论和泛函分析领域做出了开创性工作，特别是在表示理论和量子力学中应用了数学方法。 他的研究为现代数学物理的发展奠定了基础。 西格尔(C.L. Siegel)在复分析、数论和天体力学方面做出了杰出贡献。 他的工作不仅在理论数学上具有重要价值，也对应用领域产生了积极影响，如在天体物理学中的应用。 勒雷(Jean Leray)在数学分析和数学物理方面取得了重纤缺山要成果，尤其是在流体力学中的柯西-勒雷问题的研究，对理解复杂流体运动具有重要意义。 韦伊(André Weil)的贡献涵盖了代数几何、数论和复变函数等领域。 他提出的韦伊公理化方法在现代数学中起到了关键作用，为数论和代数几何的进一步发展奠定了基础。 嘉当(Henri Cartan)在微分几何和数学物理方面做出了突出贡献，特别是他在微分形式理论和局部系统理论上的工作，对现代数学和理论物理的发展产生了深远影响。 柯尔莫哥洛夫(Andrei Kolmogorov)在概率论、泛函分析和数学物理等领域的工作对数学的各个分支都产生了重大影响。 他提出的概率论基础理论对现代统计学和信息论的发展具有关键作用。 阿尔福斯(Lars Ahlfors)在复分析领域取得了突出成就，特别是他在复变函数理论和几何函数论方面的研究，为数学分析提供了重要工具和概念。 扎里斯基(Oscar Zariski)在代数几何领域做出了基础性的贡献，他的工作为现代代数几何的发展提供了重要的理论框架和方法论。 惠特尼(Hassler Whitney)在拓扑学和数学物理方面做出了开创性贡献，特别是在微分拓扑和微分几何方面的工作对现代数学物理的研究产生了深远影响。 艾伦伯格(Samuel Eilenberg)与诺尔斯合作，在同调代数和代数拓扑学方面的工作为现代数学提供了重要的理论工具和结构，推动了数学各分支的深入发展。 赛尔贝格(Atle Selberg)在数论和分析数论领域取得了卓越成就，特别是在筛法和Zeta函数的零点研究方面的工作对数论的发展产生了重要影响。 拉克斯(Peter Lax)在偏微分方程、计算数学和应用数学领域的工作对现代数学和科学计算的发展产生了深远影响，他的贡献在数学物理和工程应用中得到了广泛的应用。 伊藤清(Kiyosi Itô)在概率论和随机过程领域做出了革命性贡献，特别是他提出的伊藤积分理论，对现代金融数学、物理学和工程学产生了重要影响。 赫尔曼德尔(Lars Hörmander)在偏微分方程理论和分析方面的工作对数学分析和应用领域产生了深远影响，特别是在微分几何和数学物理中的应用尤为突出。 希策扮昌布鲁赫(Friedrich Hirzebruch)在代数拓扑学和几何学方面的工作对现代数学的多个领域产生了重要影响，特别是他的霍奇猜想工作和泛函群理论的发展。 米尔诺(John Milnor)在拓扑学、代数拓扑学和微分几何方面的工作对现代数学产生了深远影响，特别是在复流形、四维流形和拓扑动力学方面的研究成就。 考尔德伦(Alberto Calderón)在数学分析和微分方程领域的工作对现代数学的多个分支产生了重要影响，特别是在调和分析和偏微分方程方面的研究成就。 德乔吉(Ennio De Giorgi)在偏微分方程和几何分析方面的工作对现代数学产生了深远影响，特别是在存在性定理和最小面积问题方面的贡献。 皮亚捷茨基沙皮罗(Ilya Piatetski-Shapiro)在复分析、数论和代数几何方面的工作对现代数学的多个领域产生了重要影响，特别是在模形式和代数几何的进展。 卡尔森(Lennart Carleson)在复分析、偏微分方程和数学物理方面的工作对现代数学和科学计算产生了深远影响，特别是在复变函数论和调和分析方面的贡献。 汤普森(John Thompson)在群论和代数几何方面的工作对现代数学产生了重要影响，特别是在有限简单群理论和代数数论方面的贡献。 格罗莫夫(Mikhael Gromov)在几何拓扑学和几何分析方面的工作对现代数学的多个领域产生了深远影响，特别是在几何结构和流形理论方面的突破。 蒂茨(Jacques Tits)在群论和几何学方面的工作对现代数学产生了重要影响，特别是在几何群论和对称空间理论方面的贡献。 莫泽(Jürgen Moser)在动力系统和偏微分方程方面的工作对现代数学产生了深远影响，特别是在稳定性和混沌理论方面的贡献。 朗兰兹(Robert Langlands)在数论和代数几何方面的工作对现代数学产生了深远影响，特别是在朗兰兹纲领和L函数理论方面的贡献。 怀尔斯(Andrew Wiles)在数论领域的工作对现代数学产生了深远影响，特别是证明费马大定理的成就，为数论和代数几何的发展做出了重要贡献。 赛奈(Yakov Sinai)在动力系统、概率论和统计物理学方面的工作对现代数学产生了深远影响，特别是在混沌理论和随机过程方面的贡献。 凯勒(Joseph Keller)在光学、电磁学和流体力学方面的工作对现代数学和应用科学产生了深远影响，特别是在波动理论和反散射理论方面的贡献。 洛瓦兹(La·szlo Lova·sz)在图论、组合优化和计算数学方面的工作对现代数学产生了深远影响，特别是在图论中的匹配理论和组合优化方面的贡献。 斯坦(Elias M. Stein)在调和分析、偏微分方程和函数理论方面的工作对现代数学产生了重要影响，特别是在函数空间和微分几何方面的贡献。 博特(Raoul Bott)在拓扑学和数学物理方面的工作对现代数学产生了深远影响，特别是在纤维束理论和量子场论方面的贡献。 塞尔(Jean-Pierre Serre)在代数几何、数论和拓扑学方面的工作对现代数学产生了重要影响，特别是在代数数论、代数几何和同调代数方面的贡献。 阿诺尔德(Vladimir Arnold)在动力系统、微分几何和数学物理方面的工作对现代数学产生了深远影响，特别是在混沌理论、动力系统理论和量子力学方面的贡献。 谢拉赫(Saharon Shelah)在逻辑学、集合论和模型论方面的工作对现代数学产生了重要影响，特别是在可数集的集合论和模型论方面的贡献。 佐藤斡夫(Mikio Sato)在代数几何、数学物理和函数理论方面的工作对现代数学产生了深远影响，特别是在代数几何中的Sato理论和函数理论方面的贡献。 塔特(John Tate)在数论和代数几何方面的工作对现代数学产生了深远影响，特别是在代数数论和代数几何中的Tate理论的贡献。 马尔古利斯(Grigorii Margulis)在数论、代数几何和动力系统方面的工作对现代数学产生了深远影响，特别是在动力系统理论和代数数论方面的贡献。 诺维科夫(Sergei Novikov)在拓扑学、数论和数学物理方面的工作对现代数学产生了重要影响，特别是在拓扑学中的诺维科夫猜想和数学物理方面的贡献。
