素数：数字王国的“乐高积木”
你有没有玩过乐高积木？在乐高里世界里，所有复杂的结构不过是由一个个简单的积木块拼接而成的。
素数就是数字世界里的“乐高积木”——它们是所有数的基础组成部分。尽管它们看似简单，却在塑造整个数学宇宙的过程中起着至关重要的作用。”
素数是什么？
首先，我们来回顾一下素数(prime number)的定义：
素数是大于 1 的自然数，且只能被 1 和它本身整除。换句话说，素数的因数只有两个：1 和 它自己，就像乐高中的基本积木，无法再拆分成更小的单位。
而像 4、6、8 这样的数字则不是素数——它们是 合数 ，可以分解为更小的数的乘积。
素数：数字世界的“原子”
在数学世界中， 所有整数都可以写成素数的乘积 。举几个例子：
这就是我们所说的 算术基本定理 ，它告诉我们：每个大于 1 的整数都可以 唯一 地分解为素数的乘积。
这种唯一性使得素数在数学中具有极其基础的地位。就像物理学中的原子是物质的基本组成单位，素数则是整数的“原子”，构成了数论的基础。
素数的广泛应用
素数不仅是数论的核心，还在许多著名的数学定理和猜想中发挥着至关重要的作用。
在信息安全领域，素数是现代加密技术的基石。
素数在计算复杂性理论中也有着重要作用。
随着 量子计算 的发展，素数的分解问题再次成为研究的焦点。
素数的神秘性和力量不仅奠定了数论的基础，也在现代科技中扮演着举足轻重的角色。而随着量子计算的发展，对于素数的研究可能会打开一扇新的大门。探索素数的旅程，或许才迈出了一小步。
陈润景后来摘取了 数学皇冠上的明珠 指的是什么
自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论。 而哥德巴赫猜想，则是皇冠上那颗璀璨夺目的明珠。 自从十八世纪中叶哥德巴赫提出这一猜想之后，无数的数学家都被这颗明珠发出的耀眼光彩所吸引，纷纷加入到摘采它的行列中去。 然而却始终没有人能够成功。 十八世纪过去了，没有人能证明它。 十九世纪过去了，仍然没有人能证明它。 历史进入了二十世纪，自然科学的发展日新月异，无数的科学堡垒被科学家们逐一攻克。 到了本世纪的二十年代，哥德巴赫猜想开始有了一点进展。 各国数学家迂回前进，逐渐缩小了包围圈。 在这场世界范围内的世纪竞赛中，一位大家耳熟能详的中国人--陈景润，战胜了各国数学好手，获得了领先的殊荣。 尽管哥德巴赫猜想还只是一个猜想，但是自从它被提出直至今日，仍然没有其它的科学高峰可以遮掩它的光芒。 历史又到了世纪之交，即将翻开崭新的一页，而人类却仍然只能带着这个遗憾跨入二十一世纪。 哥德巴赫猜想，究竟是怎样的难题呢？ 寻找最大的素数 1，2，3，4，5，……，这些数称为正整数。 在正整数中，能被2整除的数，如2，4，6，8，……，被称为偶数。 不能被2整除的，如1，3，5，7，……，则被称为奇数。 还有一种数，如2，3，5，7，11等等，只能被1和它本身，而不能被其它正整数整除的，叫做素数。 除了1和它本身，也能被其它正销埋整数整除的，如4，6，8，9等等，就称为合数。 一个整数，如能被一个素数所整除，这个素数就叫做这个整数的素因子。 如6，就有2和3两个素因子；而210，就有2，3，5，7四个素因子。 素数在数学中是非常重要的一个概念。 素数重要的理由，希腊数学家欧几里德（Euclid，约公元前350年～公元前300年）早在两千多年前就已经知道了。 欧几里德搜集了当时所有他可以得到的数学知识，写出了一本13卷的数学著作《原本》。 书中有这样一个现在被称为“算术基本定理”的定理：每一个大于1的自然数，或者是素数，或者可表示为若干素数的乘积，这种表示若不计素数排列的次序则是唯一的。 例如，630是7个素因子（其中一个重复出现两次）的乘积： 630＝2×3×3×5×7 上式中等号右边的部分被称为630这个数的素因子分解。 算术基本定理告诉我们，素数是构作自然数的基本的建材，所有的自然数都是由他们建造的。 素数很像化学家的元素或者是物理学家的基本粒子。 掌握了任一个数的素因子亏春蚂分解，数学家就获得了有关这个数的几乎全部信息。 因此素数性质的研究就成为了数论中最古老与最基本的课题之一。 早在欧几里德时代就已经证明了素数有无穷森梁多个。 然而对于每一个人来说，素数似乎并没有什么特殊的地方。 2，3，5，7，11……，每一个人都能随口说出一串来。 但是往后呢？让我们来看一看吧。 我们首先选定一个自然数，把它记为N；对小于N的素数的个数我们记为π(n)。 比较随着N的不同取值π(n)／n发生的变化，我们就会发现顺着自然数的序列，素数越来越少了。 表1：素数的分布 N π(n) π(n)/n 10 4 0.400 100 25 0.250 1000 168 0.168 1229 0.123 9592 0.096 0.078 17世纪法国数学家梅森（Mersenne）提出了一种寻找素数的方法。 梅森在1644年出版的著作《物理数学随感》（Cogitata Physica-Mathematic）的序言中称，对于n＝2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257，数Mn＝2n－1是素数，而对其它所有小于257的数n，Mn是合数。 他是如何得到这一结论的呢？无人知晓。 但他确实惊人地接近了真理。 直到1947年有了台式计算机，人们才能检查他的结论。 他只犯了5个错误：M67和M257不是素数，而M61，M89和M107是素数。 梅森数提供了一种找出非常大的素数的漂亮的方法。 函数2n随n的增大快速增长，这保证了梅森数Mn很快就变得极大，人们便想到去寻找那些使Mn为素数的n。 这类素数称为梅森素数。 初等代数知识告诉我们，除非n本身是素数，否则Mn不会是素数，所以我们只需注意取素数值的n。 不过大多数素数n也导致梅森数Mn是合数。 看来寻找适当的n并不容易--尽管前几个数让你觉得并不难。 1998年2月12日美国加州州立大学19岁的罗兰·克拉克森新找到了一个合适的n，他利用电脑发现了目前已知的最大素数。 这个素数是2乘以次方减1。 这是一个位数，如果用普通字号将这个数字连续写下来，它的长度可达3000多米。 克拉克森利用课余时间算了46天，在1月27日终于证明这是一个素数。 这个素数到底有多大呢？让我们用另外一个大素数来比较一下吧！ 在一个普通的8×8个方格的棋盘，我们按如下规则往方格里摆放2毫米厚的筹码（如英国10便士的硬币）。 先将方格编号，为1～64。 在第一个格子里放2枚筹码，第二个格子里放4枚筹码，第三个格子里放8枚筹码。 以此类推，下一格里放的筹码数恰为前一格里的两倍。 于是，在第n个格子有2n个筹码，在最后一格里就有264个筹码。 你能想象这摞筹码有多高吗？1米？100米？米？肯定不对！好，不管你信不信。 这摞筹码将直冲云天，超过月亮（它只不过千米远），超过太阳（1.5亿千米远），几乎直达（除太阳外）最近的恒星半人马座的α星，离地球大约4光年。 用十进位数表示，264为。 264就那么可观，为了得到出现在目前最大的素数中的－1，你需要在一个比1738×1738个方格还要大的棋盘上玩上面的游戏！ 寻找大素数具有实际应用价值。 它促进了分布式计算技术的发展。 用这种方法，有可能使用大量个人电脑来做本来要用超级计算机才能完成的项目。 此外，在寻找大素数的过程中，人们必需反复乘很大的整数。 现在一些研究者已经发现加快运算速度的办法，而这些办法又可以用在其他科学研究上。 大素数还可以用来加密和解密。 寻找梅森素数的方法还可用来测试电脑硬件运算是否正确。 相对于无穷的素数而言，我们迄今所发现的还只是极其有限的。 同时，我们能够证明与素数有关的命题是很少的。 哥德巴赫猜想正是一个关于素数的命题，一个我们人类用了250多年时间还未证明的命题。 哥德巴赫的猜想 看起来似乎是十分简单的数字，却包含着许多有趣而深奥的学问。 在数论研究中，往往根据一些感性认识，小心的提出“猜想”，然后再通过严格的数学推论来论证它。 上文中我们说过，任何合数都可以分解为素数的乘积，那么把合数分解成素数之和的情况又如何呢？这里面是否有什么规律呢？ 一七四二年，德国的一位中学教师哥德巴赫（Goldbach）发现，“任何一个大偶数都可以写成两个素数之和”。 例如：6＝3＋3，9＝2＋7等等。 他对许多偶数进行了验证，都说明是对的。 但是这需要给出证明。 因为尚未证明的数学命题只能称之为猜想。 他自己不能证明这个命题，于是就向当时赫赫有名的瑞士大数学家欧拉（Euler）请教，请他来帮忙。 欧拉是当时最负盛名的数学家之一，尽管他对哥德巴赫的猜想表示相信，但是他却被这个貌似简单的命题难住了。 一直到他去世，欧拉也没有能够完成对哥德巴赫猜想的证明。 哥德巴赫的信中提出了两个猜想： 任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。 任何一个大于5的奇数都是3个素数之和。 容易证明猜想（2）是猜想（1）的推论，所以问题就归结为证明猜想（1）。 事实上，对于这个猜想，有人对一个一个的偶数进行了验算。 一直到几亿之巨，都表明这个猜想是正确的。 但是更大更大的数呢？猜想也应该是对的。 猜想应当被证明。 然而证明它确是很难很难。 1900年，德国数学家希尔伯特在国际数学会的演讲中，把哥德巴赫猜想看成是以往遗留的最重要的数学问题之一。 他将“哥德巴赫猜想”列入了他提出的“当代数学家的23个挑战”之中。 而1912年，德国数学家朗道在国际数学会的演说中说，即使证明较弱的命题“（3）存在一个正整数a，使每一个大于1的整数都可以表示为不超过a个素数之和”，也是现代数学家所力不能及的。 要说明的是，如果（1）成立，则取a＝3即可。 1921年，英国数学家哈代在哥本哈根召开的数学会上说过，猜想（1）的困难程度是可以和任何没有解决的数学问题相比的。 然而，人类的聪明才智总是不断的突破着一个又一个他们自己设定的极限。 就在此后的1年，即1922年，英国数学家哈代与李特伍德提出了一个研究哥德巴赫猜想的方法，即所谓的“园法“。 1937年，苏联数学家依·维诺格拉朵夫应用圆法，结合他创造的三角和估计方法，证明了每个充分大的奇数都是三个素数之和。 从而基本上证明了哥德巴赫信中提出的猜想（2）。 就在一部分数学家全力攻坚哥德巴赫猜想（2）的时候，另一部分数学家也向猜想（1）吹响了冲锋的号角。 很早以前，人们就想证明，每一个大偶数是两个“素因子不太多的”整数之和。 他们想这样子来设置包围圈，想由此来逐步、逐步证明哥德巴赫猜想这个命题，即一个素数加一个素数（1+1）是正确的。 于是，人们一步一步的，尽管非常缓慢，但是总算逐渐接近了证明哥德巴赫猜想。 1920年，挪威数学家布朗改进了有2000多年历史的埃拉多染尼氏“筛法”，证明了每个充分大的偶数都是两个素因子个数不超过9的正整数之和。 相对于最终命题（1＋1），我们将布朗的结果记为（9＋9）。 1924年，德国数学家拉德马哈尔证明了（7＋7）；1930年，苏联数学家史尼尔曼用他创造的整数“密率”结合布朗筛法证明了命题（3），并可以估算出a的值。 1932年，英国数学家埃斯特曼证明了（6＋6）；一九三八年，苏联数学家布赫斯塔勃证明了（5＋5）；一九四○年，他又证明了（4＋4）。 一九五六年，数学家维诺格拉多夫证明了（3＋3）。 我国数学家华罗庚早在30年代就开始研究这一问题，得到了很好的成果，他证明了对于“几乎所有”的偶数，猜想（1）都是对的。 解放后不久，他就倡议并指导他的一些学生研究这一问题，取得了许多成果，获得国内外高度评价。 1965年，我国数学家初显身手，由王元证明了（3＋4），同一年，苏联数学家阿·维诺格拉朵夫又证明了（3＋3）。 1957年，王元证明了（2＋3）。 包围圈越来越小，越来越接近（1＋1）了。 但是以上所有的证明都有一个弱点，就是其中的两个数没有一个可以肯定是素数。 对此，事实上早就有数学家注意到了。 于是，他们另外设置了一种包围圈，即设法证明，“任何一个大偶数都可以写成一个素数和另一个素因子不太多的整数之和。 ”1948年，匈牙利数学家兰恩易重新开辟了另一个战场，另劈捷径的证明了：每个大偶数都是一个素数和一个“素因子都不超过六个的”数之和。 1962年，我国数学家、山东大学讲师潘承洞与苏联数学家巴尔巴恩才各自独立的证明了（1＋5），前进了一步；同年，王元、潘承洞和巴尔巴恩又都证明了（1＋4）。 一九六五年，布赫斯塔勃、维诺格拉多夫和数学家庞皮艾黎都证明了（1＋3）。 人们在哥德巴赫猜想的证明方面所取得的不断进展，仿佛使人们已经看到了完全证明它的希望。 从（1＋3）到（1＋1），只剩下了两步之遥。 究竟谁能够最后摘下这颗皇冠上的明珠呢？ 1966年，中国年青的数学家陈景润证明了（1＋2），取得了迄今世界上关于猜想（1）最好的成果。 他证明了，任何一个充分大的偶数，都可以表示成为两个数之和，其中一个是素数，另一个或为素数；或为两个素数的乘积。 虽然“哥德巴赫定理”还是没有产生，但是这一离它最近的结论却被世界各国一致冠以一个中国人的名字--“陈氏定理”。 摘取皇冠上的明珠 1933年，陈景润诞生在福建省福州市。 他的父亲是一名邮政局的小职员，母亲则一位善良却操劳过度的妇女，一共生下了十二个孩子，养活了六个。 虽然没有哪一对父母不愿意疼爱自己的孩子，但是排行第三的陈景润上有哥哥姐姐，下有弟弟妹妹，无法成为父母最疼爱的孩子。 仿佛是一个多余的人一样，陈景润没有享受到多少童年的欢乐。 当小景润刚刚开始记事的时候，日本鬼子就打进了福建省。 幼小的他只能提心吊胆的过日子，心灵受到了极大的伤害。 在家里得不到乐趣，在小学里他也总是被人欺负，这使他养成了内向的性格。 陈景润开始喜欢上了数学，因为数学题的演算可以帮他打发掉大部分的时间。 小学毕业之后，陈景润在初中里仍然是一个受到歧视的孩子。 抗战结束，陈景润进入了英华书院。 当时的学校里，有一位曾经是国立清华大学航空系主任的数学老师。 这位老师学识渊博，诲人不倦，激发了许多同学对数学的热爱。 有一次，老师上课时给同学们介绍了一道数论中著名的难题，这就是哥德巴赫猜想。 对于别的同学，或许三分钟热度很快就过去了，因为这是一道困扰了整个人类两个世纪的难题！不要说解决它，就是对一位大数学家而言，想要取得一点进展也要耗费巨大的努力。 然而，却被这个难题迷住了，并将它深深的印在了脑海，直至付出了一生的心血！ 高中毕业之后，陈景润进入了厦门大学数学系。 由于成绩特别优异，他提前毕业，站在了讲台上，成为了一名老师。 然而长期养成的内向性格却使他无法像高中的那位老师一样把自己丰富的知识全部传授给学生。 几经周折，他的数学天赋被当时在中国科学院数学研究所供职的华罗庚发现，陈景润于1956年被调入这一中国数学研究的圣殿，成为了一名助理研究员。 从此，他的数学天赋得到了充分展示的机会。 短短几年，他就在圆内整点问题，球内整点问题和华林问题等方面，改进了中外数学家的结果。 单单就这些成就而言，他已经获得了巨大的成功。 但是他始终没有忘记高中时在他心里留下的那个深深的烙印--哥德巴赫猜想。 在具备了充分的条件之后，他向这颗明珠进军了！ 不懈的努力结出了丰硕的成果。 陈景润终于在摘取明珠的道路上又迈出了极为重要的一步。 在对筛法作了新的重要改进之后，他在1965年初步解决了（1＋2），写出了长达200多页的证明。 1966年5月，陈景润在中国科学院的刊物《科学通报》第十七期上宣布他已经证明了（1＋2）。 就在一年以前，外国数学家使用高速计算机证明了（1＋3）。 而陈景润仅靠手写心算，就得出了更好的结论。 但是由于证明过于烦琐，需要进一步的简化。 于是，陈景润又扎进了稿纸中，继续着他的攀登之路。 一切与研究无关的事情，都不能扰乱他的思绪。 就在他那间6平方米的小屋里，在几麻袋的演算稿纸间，陈景润忍受着常人所不能忍受的艰辛困苦，孜孜不倦的追逐着那一个梦想。 1973年春节刚过，陈景润完成了他的论文的修改稿《大偶数表为一个素数与不超过两个素数乘积之和》，即（1＋2），并予以发表。 陈景润在论文中证明了： 每个大偶数可表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和； 设D(N)是N表为两个素数之和的表法个数，证明了对充分大偶数N有D(N)<7.8342(N)/(LnN)2； 这两个结论把哥德巴赫猜想的证明大大推进一步，并在国际上被称为“陈氏定理”。 这一成果在世界数学界引起了强烈反响，为我国赢得了巨大的国际声誉。 西方记者迅速知道了此事，消息很快就传遍了全球。 英国数学家哈勃斯丹和德国数学家李斯特得知此事时，著作《筛法》正在印刷。 然而他们立即抽回书稿重新编写，加入了第十一章：“陈氏定理”，并给予极高的评价：“从筛法的任何方面来说，它都是光辉的顶点”。 而同时在国外的一些数学刊物上，诸如“杰出的成就”、“辉煌的定理”等等类似的赞美之词不胜枚举。 一位英国数学家甚至写信给他说道，“你移动了群山！” 令人痛惜的是，长期的艰苦研究给陈景润的身体带来了许多的病痛。 虽然他受到了党和国家的亲切关怀，仍然由于心力交悴，没能跨出证明哥德巴赫猜想这个令各国数学家前赴后继为之奋斗了250多年的古典数学难题的最后一步，留下了本世纪数学史上最大的一个遗憾。 尽管如此，在30多道世界性的数论难题中，陈景润独自攻克了六、七道，尤其是在对哥德巴赫猜想证明方面所取得的成就，至今仍然无人能望其项背。 1996年3月19日，，一个对于整个世界数学界来说都是令人扼腕痛惜的日子。 中国科学院院士、数学研究所一级研究员陈景润教授因长期患病，医治无效，与世长辞，享年63岁。 世纪的期盼 很多人不明白，研究哥德巴赫猜想这样一个“纯粹的数字游戏”有什么意义呢？要知道，科学成就大概可以分为两类。 一种是经济价值明显，可以直接以物质财富的多少来计算的，是“有价之宝”；然而另一种成就是在宏观世界、微观世界、宇宙天体、基本粒子等领域之中取得的，它们的经济价值无法估算，远远超出人们的想象，被称为“无价之宝”。 陈景润的“陈氏定理”就是属于后者。 哥德巴赫猜想对于数学而言是非常重要的，事实上作为对素数这一数学“基本粒子”的一个最重要的猜想，解决它将会使整个人类对自然科学的认识前进一大步。 因此有不少数学家致力于简化“陈氏定理”的证明。 目前世界上共有好几个简化证明，最简单的是由我国数学家丁夏畦、潘承洞与王元共同得到的。 在人类研究哥德巴赫猜想的过程中所发明、应用的许多方法，不仅对数论有广泛的应用，而且也可以用到不少数学分支中去，推动了这些数学分支的发展，为整个社会的前进提供了无穷的动力。 比如素数就为人类提供了编制密码的好方法，为人们通讯安全起了很大的作用。 作为自然科学大厦基石的数学，它的每一个进步，哪怕是极其微小的，都可能使我们将整个大厦构筑得更加辉煌与壮观。 又过去了数十年的时间，对哥德巴赫猜想证明的尝试虽然它被提出的那一天起就从来就没有停止过，但是整个世界却又再次长时间的陷入了困惑之中。 而今，人类又一次站在了世纪之交的历史时刻。 科学技术的迅猛发展给科学家们攀登知识的高峰提供了远胜于前的便利条件。 尤其是高速计算机的使用，使得一些诸如“四色定理”之类的数学难题迎刃而解。 但是对于哥德巴赫猜想这颗皇冠上的明珠，人类的聪明才智是否能在下一个世纪让它耀眼的光环完全显露呢？ 没有人知道答案，世纪的期盼在向人类召.
在数学领域有哪些假设是不能提出的或没有意义的？
黎曼猜想，这个可以说是数学中最重要的猜想之一，黎曼猜想研究的是素数分布问题，而素数是一切数字的基础，假早孙升如人类掌握了素数分布的规律，那么能轻松解决很多知名的数学难题。 然而，黎曼猜想的难度，可以说是史无前例的，甚至一些数学家绝望地认为，素数分布规律，人类可能永远无法掌凯则握，黎曼猜想本身就陆老是不可证明的。
素数是什么？
素数，这个数学概念在数论中占据着核心地位。 简单来说，素数是指那些大于1的自然数，其特性在于除了1和它本身，无法被其他自然数整粗慧除。 它们与合数，即可以被除了1和自身以外的其他数整除的数形成鲜明对比。 素数的定义为数论研究提供了基石，其重要性体现在它引发了众多深奥的数学问题，比如著名的哥德巴赫猜想，这些岩升答问题挑战着数学家们的智慧和理论边界。 素数的存在并非随意，而是构成数字世界的一种基本结构。 它们在密码笑乱学、编码理论和计算机科学中扮演着关键角色，尤其是在加密算法中，素数的选择直接影响安全性。 每一个新的素数发现，无论是理论研究还是实际应用，都可能带来数学领域的新突破。 因此，对素数的研究不仅是数学的探索，也是科学技术进步的推动力。
